مجموعه اعداد و اعداد متناوب

در این مقاله قصد داریم ابتدا مروری بر مطالب مربوط به مجموعه اعداد که در دوره اول متوسطه یادگرفته اید، داشته باشیم و مطالب مربوط به انواع مجموعه های اعداد (اعداد طبیعی، اعداد حسابی، اعداد صحیح، اعداد گویا، اعداد گنگ، اعداد حقیقی) را با مثال توضیح دهیم. سپس تناوب اعداد را مورد بررسی قرار می دهیم، کسری اعشاری متناوب ساده، متناوب مرکب و اعداد گنگ را با ذکر مثال توضیح می دهیم.
در بخش سوم تبدیل کسر اعشاری متناوب ساده و متناوب مرکب به کسر معمولی را به همراه فرمول و مثال توضیح می دهیم. پیشنهاد می کنیم مشاهده فیلم های این مقاله را از دست ندهید.

در این مقاله به این سوال ها پاسخ داده ایم:

1. تفاوت اعداد متناوب ساده و مرکب
2. کسر متناوب چیست؟
3. اعداد متناوب گنگ هستند یا گویا؟
4. چگونه اعداد اعشاری متناوب ساده و مرکب را به کسر تبدیل کنیم؟

اعداد طبیعی چه اعدادی هستند؟

اعداد طبیعی به اعدادی گفته می شود که برای شمارش استفاده شده و از عدد یک شروع شده و تا بی نهایت ادامه دارد. مثلا ” سه کتاب”، ” 1500 شهر” و…. مجموعه اعداد طبیعی {… ,3, ۲, 1} است.
توجه داشته باشید:
مجموعه اعداد طبیعی از عدد یک (1) شروع می شود و شامل عدد صفر (0) نمی باشد.
مجموعهٔ اعداد طبیعی همان مجموعهٔ اعداد صحیح مثبت یعنی {… ،۱٬۲٬۳} است.
مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N نمایش میدهند. N از اولین حرف واژه انگلیسی(Natural)، به معنای طبیعی گرفته شده است.
مجموعه اعداد طبیعی نامتناهی می باشد. یعنی پایان ندارند.
این مجموعه اعداد شمارش‌پذیر هستند.

اعداد حسابی

مجموعه اعداد حسابی، همان اعداد طبیعی هستند، با این تفاوت که شامل عدد(0) شده و با این عدد شروع می شود. مجموعه اعداد حسابی یک مجموعه نامتناهی است. W نماد مجموعه اعداد حسابی بوده که حرف اول کلمه انگلیسی Whole به معنی کامل است.

مجموعه اعداد

اعداد صحیح چه اعدادی هستند؟

اعداد صحیح شامل مجموعه اعداد طبیعی مثبت، مجموعه اعداد طبیعی منفی و عدد صفر می باشد. این مجموعه را در ریاضی معمولا با حرف Z ابتدای کلمه (zahlen) که در زبان آلمانی به معنی اعداد است نشان می دهند.
مجموعه اعداد صحیح یک مجموعه قابل شمارش و نا متناهی می باشد. همانند مجموعه اعداد طبیعی و حسابی

اعداد گویا

اعداد گویا همان اعداد کسری هستند که حاصل تقسیم دو عدد صحیح می باشند.البته مخرج کسر یا عدد دوم نباید عدد صفر باشد. عدد گویا را به شکل b/a می نوسیند که a و b اعداد صحیح هستند.
در ریاضیات مجموعه اعداد گویا را با Qنمایش می دهند.
مجموعه اعداد گویا، مجموعه ای شمارا است.
همچنین این مجموعه، زیرمجموعه ای از مجموعه ی اعداد حقیقی است.

اعداد گنگ چه اعدادی هستند؟

هر عدد اعشاری که رقم اعشاری آن پایان ناپذیر باشند و دوره تناوب نداشته باشند، یک عدد اصم یا گنگ می باشد.
اعداد گنگ یا اصم، اعدادی حقیقی هستند که گویا نیستند. یعنی اعداد گنگ را نمی توان به صورت کسری بنویسید که صورت و مخرج آنها، عدد صحیح باشند.
مجموعه اعداد گنگ، مجموعه ای غیر قابل شمارش است.
درصورت نوشتن اعداد گنگ به صورت اعشاری ، بخش عشاری آنها تا بینهایت تکرار شده و هیچ گاه تمام نمی شوند.
این اعداد برخالف اعداد اعشاری متناوب، هیچ الگوی مشخصی هم ندارند.

اعداد حقیقی

مجموعه اعداد حقیقی شامل تمام اعداد صحیح، گویا، طبیعی، حسابی و گنگ بوده و با R نمایش داده می شود.
اعداد موهومی حقیقی نیستند.
بینهایت عدد حقیقی نیست.

اعداد متناوب

دسته ای از اعداد گویا هستند که بخش اعشاری آنها پایان نداشته و بر اساس یک الگو منظم تکرار می شود.

فیلم آموزش اعداد متناوب و تبدیل کسر اعشاری متناوب به کسر معمولی

اعداد متناوب

تبدیل کسر اعشاری

تبدیل کسر اعشاری متناوب به کسر معمولی

تفاوت اعداد مختوم و متناوب در چیست؟

رقم های اعشاری اعداد مختوم، پایان پذیر بوده و تعداد ارقام اعشاری مشخصی دارند و می توان عدد اعشاری را تا آخرین رقم محاسبه کرد. اما در نمایش اعشاری اعداد متناوب، تعداد رقم های اعشاری پایان پذیر نبوده و با یک الگو منظم و مشخص تکرار می شوند.